Mega Millions en Powerball kansen zijn ze ooit in uw voordeel

Mega Millions en Powerball kansen zijn ze ooit in uw voordeel centen aan deMega Millions en Powerball Odds: Can You Ever Verwacht een Ticket To Be rendabel?

Kan de loterij jackpot ooit groeien groot genoeg
het kopen van een ticket economisch rationeel te maken?
Het antwoord kan u verrassen.

Jeremy Elson. jelson bij Google Mail
Oorspronkelijk gepubliceerd 6 januari 2011; bijgewerkt 3 december 2012 en 11 januari 2016

Bijgewerkt op 11 januari 2016: De belangstelling voor deze pagina is intens in de afgelopen dagen uitgegroeid tot de huidige Powerball jackpot wordt geadverteerd op meer dan $ 1,4 miljard. Ik schat zal er ruwweg een miljard tickets in het spel proberen om de jackpot te winnen. Houd er rekening mee dat dit aantal is speculatief: ze extrapoleert uit eerdere kleinere jackpots. Wie weet wat er werkelijk zal gebeuren?


Helaas voor degenen onder u de hoop een sportteam te kopen, een miljard tickets verkocht: de verwachte waarde van een $ 2 ticket is slechts ongeveer 71 cent (of een beetje meer of minder, afhankelijk van uw staat).
Aan de positieve kant, zal de razernij vrijwel zeker voorbij na woensdag tekening. Er zal waarschijnlijk ongeveer drie keer zoveel tickets verkocht als er mogelijke cijfercombinaties op een PowerBall ticket! Er zal vrijwel zeker een winnaar, waarschijnlijk een band tussen twee of meer winnaars. Om precies te zijn, met een miljard tickets in het spel:

  • Er is slechts een kans van 3% van de jackpot zal opgeëiste blijven en de kans 97% zal dit allemaal voorbij morgen.
  • Er is een kans dat er een winnaar en een kans van 86% zal er een band tussen twee of meer tickets zijn 11%.

Houd rekening met de kans op het winnen is, zoals altijd, fantastisch laag. Stelt u zich eens iemand zou voorzien in een strook van centen langs de weg van Seattle naar Miami, en zet een geheim "X" op één van hen. Je gaat zo grote kans om het te vinden "X" door willekeurig kiezen van een enkele één van die centen als u zich bij de Powerball jackpot te winnen.

Overzicht

In het afgelopen jaar hebben de Mega Millions en de Powerball loterij jackpots platen verbrijzeld, wegschietende afgelopen half een miljard dollars per stuk. Mocht u een kaartje hebt gekocht? zou ieder size jackpot maken van een ticket een economisch rationeel investering?

Mega Millions en Powerball zijn een populaire multi-state loterijen in de Verenigde Staten die gebruik maken van wat heet een "progressieve jackpot." Als niemand de jackpot in een loterij tekening wint, wordt het prijzengeld naar voren met nieuw geld uitgevoerd in prijzenpot van de volgende tekening, in combinatie uit de verkoop van de vorige tekening van. De meeste mensen weten dat loterijen zijn proposities verliezen onder normale omstandigheden, maar progressieve jackpots kan, in theorie, groeien zonder gebonden. Aangezien de kans op het winnen van een jackpot vast blijft een intrigerende mogelijkheid naar voren komt: zou het eigenlijk geworden winstgevend. in verwachting. om een ​​lot te kopen?

Veel mensen hebben al opgemerkt dat een lot gekocht in isolatie zal een positieve verwachte waarde hebben als de post belastingen jackpot groter is dan de kans om te winnen groeit. Echter, grotere jackpots te genereren hogere kaartverkoop, en in het geval van een gelijkspel de jackpot is verdeeld onder alle winnaars. Sommige analyses rekening voor het effect van de banden, maar niemand die ik heb gevonden hebben waargenomen dat de jackpot groeit, kaartverkoop lijken te verhogen super-lineair. Dit betekent dat er een punt van de afnemende rendement waar de negatieve verwachting als gevolg van de banden opweegt tegen de positieve verwachting te wijten aan het hebben van een grotere jackpot. Hiermee rekening houdend, is het onwaarschijnlijk dat het kopen van een lot is ooit winstgevend in verwachting, maakt niet uit hoe groot de jackpot krijgt.

Winnen Als je de enige speler

Laten we beginnen met de eenvoudigste zaak. Stel je voor dat je de enige persoon die het kopen van een Mega Millions ticket. Een kaartje kost $ 1, en de kans op het winnen van de jackpot is 1 op 175.711.536. Daarom, als de jackpot zal naar verwachting precies $ 175.711.536 opleveren, dan is uw $ 1 ticket heeft een verwachte waarde van $ 1 – het is een even-money propositie, maar dan wel een met een zeer hoge variantie. Om de berekeningen te vereenvoudigen, aannemen nu dat de jackpot is de enige prijs; we zullen het relatief kleine effect van de kleinere prijzen in een moment te overwegen. Ik ben ook ervan uitgaande dat er geen immateriële voordelen te spelen, zoals de kick die je krijgt van het kijken naar de loting. En in gedachten te houden hoe laag de kans op het winnen is: stel iemand heeft in een strook van centen langs de 2000 mijl (3200 km) van de snelweg van Los Angeles naar Chicago gelegd, en zet een geheim "X" op één van hen. Neem een ​​road trip, willekeurig te stoppen aan de kant van de weg, en pick-up een cent. Je gaat zo grote kans om het te vinden "X" als u zich bij de Mega Millions jackpot te winnen.

Maar dit is geen tijd voor dergelijke negatieve denken! Het lijkt misschien op het eerste gezicht dat elke keer de jackpot groeit dan $ 175.700.000, het is economisch rationeel om een ​​ticket te kopen. Het kopen van een ticket voor de maand maart van $ 640.000.000 tekening zou een slimme zet geweest, toch?

Vertragen, grote dromer. Helaas, een geadverteerd jackpot van $ 175.700.000 niet daadwerkelijk op $ 175.700.000 aan prijzengeld. Er zijn twee belangrijke aftrek in aanmerking te nemen:

  • Netto contante waarde. De geadverteerde jackpot is wat Mega Millions u betaalt in 26 jaarlijkse termijnen. Echter, de dollar die u gebruiken om uw ticket te kopen is een up-front kosten vandaag. Voor de vergelijking om geldig te zijn, moeten we de netto contante waarde van de jackpot te gebruiken – dat wil zeggen, de onmiddellijke eenmalige contante uitbetaling optie. (Equivalent, kunnen we rekening houden met de kosten van het ticket te zijn geïnvesteerde $ 1 voor 26 jaar.) Mega Millions betaalt contant geld up-front op 63% van de geadverteerde jackpot waarde.
  • Belastingen. De hoogste marginale federale belastingtarief bedraagt ​​35%. Niet alle landen hebben een inkomstenbelasting – mijn huis staat Washington niet, bijvoorbeeld -, maar stelt dat doen hebben een gemiddelde aanslagvoet van ongeveer 6%. Tussen de twee, houdt u ongeveer 59% van uw winst, afhankelijk van uw staat.

Laten we ook kijken naar de andere, niet-jackpot prijzen. Zij worden onmiddellijk uitbetaald (zonder de 26-jaars rente), dus we hoeven alleen maar om ze korting voor belastingen, geen contante waarde. Vermenigvuldigen elke prijs met de kans op het winnen van het levert haar bijdrage aan de verwachte waarde van een ticket:

De niet-jackpot prijzen toe te voegen een totaal van 10,7 cent van de verwachte waarde van een ticket, onafhankelijk van de jackpot grootte. meer dan de kosten van $ 1 – toegevoegd aan de $ 1,35 van de verwachte waarde van de jackpot, zou een ticket voor een jackpot van $ 640.000.000 gekocht in afzondering waard een verwachte $ 1,46 te zijn! Werden de mensen in de rij staan ​​voor twee uur om tickets te doen voor een goede reden te kopen?

Wacht even. Ik blijf zeggen een ticket zou de moeite waard $ 1,46 worden bij aankoop "in isolatie," maar al die mensen in de rij waren het kopen van tickets, ook. Wat als je bent niet de enige persoon te spelen?

Het probleem van de banden

De analyse tot dusver ervan uitgegaan dat u bent de enige die het kopen van een ticket. Het probleem is dat je niet bent. Als er meer dan één ticket raakt de jackpot, is de prijs gelijk verdeeld onder alle winnaars, waardoor de waarde ervan voor elke winnaar.

De overweldigende kans op een gelijkspel had een verwoestende uitwerking op de verwachte waarde van een ticket. De meest eenvoudige manier om de bijdrage van de jackpot aan elk ticket de verwachte waarde, door Mark Eichenlaub voorgesteld te berekenen, is de verwachte totale uitbetaling te delen door het aantal kaarten in het spel. De verwachte uitbetaling is gewoon de jackpot grootte vermenigvuldigd met de kans dat ten minste één ticket zou winnen – 0,975, in dit geval. Goed voor die vervelende belastingen en de netto contante waarde, de jackpot alleen droeg een schamele 35,6 cent om de waarde van een ticket in die tekening!

Met behulp van enkele liefhebber wiskunde. kunnen we een beetje verder te graven in waarom het hebben van zo veel kaarten in het spel duwt naar beneden de verwachte waarde van elk een. Laten we aannemen dat je zou houder zijn van een winnend ticket. Er was slechts 2,4% kans dat niet één van de anders 652.000.000 tickets die er zijn gewonnen, ook. We kunnen deze analyse herhalen voor iedere realistische aantal winnaars: bereken de kans dat soort band optreedt, het berekenen van de waarde van de jackpot per winnaar in dat geval, en vermenigvuldig die twee nummers samen om de bijdrage van dat scenario om de verwachte jackpot te krijgen. Voeg ze allemaal, en we hebben de verwachte waarde van de jackpot, rekening houdend met banden, zoals in de onderstaande tabel:

Met 652.000.000 tickets in het spel, een 1 op 175.700.000 kans op elk ticket winnen, een 63% netto-contante waarde, een 41% belastingdruk en een gelijk verdeeld tussen meerdere winnaars, de verwachte waarde van een jackpot van $ 640.000.000 naar een winnaar is slechts $ 62.550.000, waardoor de bijdrage van de jackpot van de verwachte waarde van een ticket slechts 35,6 cent. Terug toevoegen de 10,7 cent verwachte waarde van de niet-jackpot prijzen, de totale verwachte waarde van een ticket, dat tekening tekening was 46,3 cent! Dit is veel erger dan de $ 1,46 we berekend als we de mogelijkheid van een gelijkspel genegeerd. De verwachte waarde van een ticket was eigenlijk ver beneden de $ 1 kosten. Het was niet zo’n slimme buy na alles.

Ticketverkoop als een functie van de grootte jackpot

Helaas zijn we nog niet klaar dumping koud water op de dromen van de loterij winnaars. (Het is een wrede hobby, ik weet het.) De bovenstaande analyse heeft banden rekening gehouden, maar uitgegaan van een vast aantal tickets in het spel – 652.000.000, om precies te zijn. Echter, zoals de media lekkernijen in de rapportage, grote jackpots aanzetten een ticket kopen razernij. en dat maakt de banden steeds waarschijnlijker. Zou de toegenomen mogelijkheid van een gelijkspel eigenlijk maken grotere jackpots minder waardevol voor de winnaars?

Zoals je kunt zien, met jackpots meer dan ongeveer $ 250 miljoen, een kaartverkoop echt beginnen af ​​te nemen. Maar het is ook belangrijk om te erkennen dat de gegevens voor jackpots boven $ 350.000.000 is schaars, en non-existent boven $ 640.000.000. De curve kan niet voorspellend voor ongekend jackpots zijn. Als we ooit een verbijsterende miljard dollar jackpot te zien, bijvoorbeeld, voorspelt waanzinnige kopers zullen betalen voor een duizelingwekkende twee miljard kaartjes. Maar er is geen manier om te weten met zekerheid wat zou werkelijk er gebeuren als een MegaMillions jackpot groeide uit tot zulke proporties. Massahysterie.

De geprojecteerde curve verkoop boven ook schetst een grimmig beeld voor iedereen die nog steeds met de hoop dat een lot ooit een economisch rationele investering kan zijn. Naarmate de jackpot groeit in waarde, het aantal mensen die proberen om te winnen het groeit super-lineair. Deze menselijke gedrag een wiskundige consequentie: hoewel de jackpot zelf kan in theorie zonder gebonden worden, is er een punt waarop de daaruit ticket-aan- groeit een dergelijk kookpunt dat de verwachte waarde van de jackpot daadwerkelijk begint gaande naar beneden nog een keer. Onderstaande grafiek toont het effect, plotten geadverteerde jackpot grootte tegen de verwachte jackpot waarde als je wint. Het neemt alles in aanmerking we tot nu toe hebben besproken: de netto contante waarde (63% van de jackpot), belastingen (41% korting), en de steeds verwoestende effect van de banden als het aantal tickets groeit super-lineair met jackpot grootte.

De rechter as in de bovenstaande grafiek toont de verwachte waarde van een ticket bij elke reclame jackpot grootte; is de verwachte jackpotwaarde maal de 1 / 175.700.000 kans op het winnen van de jackpot, plus de 10,7 cent verwachtingswaarde die uit de niet-jackpot prijzen. Het pieken op 57,8 cent wanneer de geadverteerde jackpot $ 385.000.000 bereikt. De $ 640,000,000 jackpot maart was al op de neerwaartse deel van de curve; een ticket voor die tekenen was eigenlijk waard minder. in verwachting, dan een kaartje voor de jackpot $ 363.000.000 dat eraan voorafging! Zolang de superlineair ticket groei steunt, zal kaarten voor nog grotere jackpots nog minder waard. In geen enkel geval heeft de verwachte waarde van een ticket nooit hoger zijn dan het break-even point van $ 1. aldus Mega Millions tickets zijn nooit een economisch rationeel investering, maakt niet uit hoe groot de jackpot groeit.

Powerball

Grotendeels te wijten aan de $ 2 tickets produceren minder ticketverkoop, wordt het effect van banden vertraagd ten opzichte van Mega Millions. Voor Powerball, de beste ticket waarde voor jackpots geadverteerd op ongeveer $ 890.000.000. We verwachten tot ongeveer 390 miljoen kaarten in het spel, die zou er een kans van 26% geen winnaar, een kans op een enkele winnaar 35%, en een kans op een gelijkspel tussen twee of meer winnaars 39% zijn te zien. De verwachte waarde van de jackpot tot een winnaar, goed voor de banden, en het verdisconteren van de belastingen en de netto contante waarde, zou $ 180.000.000. Het toevoegen in de verwachte waarde van de niet-jackpot prijzen van 19,1 cent, geeft dit het ticket een totale verwachte waarde van 80,8 cent – minder dan de helft van de $ 2 kosten. Een goede deal voor deelstaatregeringen ‘noodlijdende fiscale schatkist, misschien, maar zeker niet een voor de spelers. Kan de modellen echt de toekomst te voorspellen?

Het is gemakkelijk om te voorspellen hoeveel tickets worden verkocht voor een tekening als de jackpot op minder dan een paar honderd miljoen dollar is. We hebben genoeg van de gegevens voor die tekeningen tonen consistente omzet, dus interpolatie goed werkt. Maar hoe zeker kunnen we in het model als het extrapoleert naar jackpots groter dan onze ervaringen uit het verleden?

Powerball hadden hun regels minder dan een jaar eerder veranderd, het verhogen van de prijs van een kaartje naar $ 2 van $ 1 en het aanpassen van de prijzen aan te passen. Dit leek waarschijnlijk om de verkoop van invloed zijn, dus ik alleen gebruikt de gegevens van na de regel verandering in mijn model. Helaas is dit liet me met slechts 90 datapunten, en dit model niet zo goed presteren als de MegaMillions model. 281 miljoen $ 2 tickets werden verkocht aan de grote jackpot te winnen, maar het model voorspelde 54% meer: ​​435 miljoen. Ik had een kaartje van de verwachte waarde voor die grote tekening zou zijn 67,3 cent voorspeld; in werkelijkheid was het 83,3 cent – nog steeds ver onder de $ 2 prijs.

Toch draagt ​​herhalen dat deze analyse berust op ons vermogen om toekomstige loterij verkoop op basis van de geschiedenis van eerdere verkopen te voorspellen. Verleden $ 640.000.000, we hebben geen bewijs. Wie weet wat er werkelijk zal gebeuren als een miljard dollar jackpot eindelijk gebeurt er dan? Misschien met een groot genoeg prijs, zal de markt te verzadigen – iedereen die weet hoe om te loten te kopen heeft alle tickets ze zich kunnen veroorloven gekocht en de curve verkoop krijgt plat.

Voor het laatste woord over dit onderwerp, maar ik afstaan ​​de vloer naar Durango Bill. die treffend merkt op dat het rijden naar de winkel om een ​​Mega Millions kaartje kopen is meer waarschijnlijk fataal te zijn dan het is om je rijk te maken.

Dat is waarom ik van plan om te lopen.

Bron: www.circlemud.org

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *

negen + zeven =