Platonische en Archimedische veelvlakken

Platonische en Archimedische veelvlakken in eenplatonisch en
Archimedische veelvlakken

De Platonische lichamen. ontdekt door de pythagoreeërs maar beschreven door Plato (in de Timaeus ) En gebruikt door hem voor zijn theorie van de 4 elementen. bestaan ​​uit van één en hetzelfde soort regelmatige veelhoek, met identieke hoekpunten. De Archimedes Solids. uit oppervlakken van meer dan één soort regelmatige veelhoek, met identieke hoekpunten en identieke wijze polygonen rondom elke veelhoek. In de onderstaande tabel worden de Platonische lichamen in rood aangegeven en de Archimedische Solids in groen, blauw en paars. Groen is voor vaste stoffen die kunnen worden geproduceerd door afkappen de hoekpunten van ofwel Plato of blauwe Archimedische vaste stoffen. Blue Archimedische vaste stoffen worden geproduceerd uit groene door de voortzetting van de trucation tot randen verdwijnen en de helft van de hoekpunten samen te voegen. Paren van Archimedes Solids geworden identiek aan die procedure. Paars Archimedische Solids leiden wanneer in de vijf driehoeken per hoekpunt van de platonische Icosahedron, een driehoek wordt vervangen door ofwel een vierkant (de Snub Cube) of een vijfhoek (de stompe dodecaëder). De paarse Archimedische vaste stoffen hebben de interessante eigenschap van het hebben van rechtshandig en linkshandige vormen.


Voor meer informatie over dit alles, George W. Hart’s "virual veelvlakken" Site is prachtig; en ik voor het eerst leerde over Archimedische vaste stoffen uit The Penguin Woordenboek van Nieuwsgierig en Interessante Geometry. door David Wells (Penguin Books, 1991). Nu is er een mooi boekje, platonisch & Archimedische Solids door Daud Sutton (Wooden Books, Walker & Company, New York, 2002), dat de vaste stoffen met een groot aantal verwante facetten van de geometrie omvat.

Platonische en Archimedische veelvlakken

In vier dimensies, de vijf Platonische lichamen hebben zes analogen. veelvlakken geworden "polytopes." De Pentatope en de Tesseract zijn relatief eenvoudig te begrijpen en te illustreren met projecties, zoals analogen van de Tetrahedron en de Cube.

Robert Heinlein schreef een science fiction verhaal, "–en Hij bouwde een Crooked House–" [1941], gebaseerd op de Tesseract. Hij stelde zich een man het bouwen van een huis dat een uitgevouwen tesseract, met vijf blokjes gerangschikt in een kruis op de begane grond, een enkele kubus hieronder zou zijn, en een toren van twee kubussen boven. Op het moment dat hij het verhaal schreef, Heinlein en zijn tweede vrouw woonde in een huis in 8777 Lookout Mountain Avenue, in de heuvels boven Hollywood; en het huis van fictieve architect Heinlein’s wordt gezegd dat het in 8775 Lookout Mountain, die naast het Heinleins, met dien verstande dat dit adres niet bestaat zou zijn – het huis naast de deur is 8773.

Het verhaal begint met zeroing in op de locatie, eerst met de stelling dat de Amerikanen gek over de hele wereld worden beschouwd ("u Yanks "), Maar ze hebben de neiging om de schuld op Californië. terwijl Californiërs schuld op Los Angeles. maar Angeleños schrijven dit allemaal naar Hollywood. met de "gewelddadige gevallen" wonende in Laurel Canyon. Lookout Mountain Ave is in een side canyon boven Laurel. Heinlein zegt: "De andere Canyonites niet bevalt om het te hebben vermeld." In de jaren 1960, Joni Mitchell en Graham Nash woonde in een huis in Laurel Canyon, het huis van het lied "Ons huis," uitgevoerd door Crosby, Stills en Nash.

Ik heb geconstateerd dat het web van wegen in dat gebied van de Santa Monica Mountains, velen van hen vuil, gemaakt voor leuke drives, zowel overdag als ’s nachts, met een prachtig uitzicht over de stad lichten hieronder. Lookout Mountain Avenue zich uiteindelijk leidde naar manieren die naar beneden leidde naar Sunset Boulevard. Sinds kaarten van het gebied waren vaak onvolledig en onnauwkeurig, een deel van de charme was exploratie. De wegen en wissels trok ook anderen, die bedwelmende middelen kunnen consumeren of zich bezighouden met seks, is het bewijs van die vaak links op de grond. De buren blijkbaar genoeg van en toegang begon te worden beperkt door hekken, meestal gewoon gebruik van de wegen wegen voorkomen. Aangezien de wegen, vooral het vuil die waren erg smal, bemoeilijkte te draaien, die daar gebruik van helemaal ontmoedigd. Het leek alsof het passeren van een aangename en meer onschuldige tijd.

Op de Google Maps streetview schermen, het lijkt erop dat veel van deze wegen zijn nu verhard en de poorten lijken te zijn verdwenen. Sommige van de schouders lijken ook zijn ingestort; en plaatsen waren mensen gebruikt om uit te schakelen en het park zijn nu verdwenen, met hekken mensen te beschermen tegen te gaan van de weg.

In het verhaal, een kleine aardbeving zorgt ervoor dat de tesseract huis te storten in een echte tesseract, met slechts één blokje blijft zichtbaar op de straat, en de andere zeven kubussen vermoedelijk vallen in de vierde dimensie. In het huis, alle blokjes zijn nog steeds toegankelijk, maar de ramen kijken uit op vreemde scènes, misschien op verschillende werelden, of in geen wereld. Als afterstock van de aardbeving begint het huis te schudden, de architect en zijn metgezel sprong uit een raam, ondanks hun angst dat de vreemde flora zien ze misschien niet op Aarde. Eigenlijk is de dingen zijn gewoon de gelijknamige plant, stange genoeg in hun eigen recht, in Joshua Tree National Monument in de woestijn van Californië. Ze keren terug naar Los Angeles om te ontdekken dat het huis volledig is verdwenen.

Een model of projectie van een tesseract kan in een zeer intuïtieve manier geconstrueerd analogie met de bouw van de kubus. Voor een kubus, beginnen we met een vierkant. Een vierkant heeft vier zijden. Aan elke kant hechten we een ander plein. We kunnen dit allemaal doen op een vliegtuig. Gezien de derde dimensie, kunnen we vouw de buitenkant pleinen totdat ze ontmoeten. Als ze voldoen aan, we ontdekken dat ze een nieuw plein hebben gevormd, op een parallel vliegtuig naar het oorspronkelijke veld. Deze constructie kan terug op het oorspronkelijke vlak worden geprojecteerd in een oneindig aantal manieren, afhankelijk van de kubus wordt geroteerd in 3 dimensionale ruimte. In de uitsteeksels echter tenminste vier zijden, en misschien alle zes, worden vervormd in vorm en / of grootte.

Voor de tesseract, beginnen we met de kubus. Hij heeft zes gezichten. Op elk vlak hechten wij een andere kubus. Uitgaande van een vierde dimensie, kan de buitenkant blokjes zijn "gedraaide" totdat ze elkaar. In bijeenkomst zal zij een achtste kubus vormen, in een parallel ruimte aan die van de oorspronkelijke kubus. Deze constructie kan terug in de driedimensionale ruimte worden geprojecteerd, waardoor we 3-d modellen van een tesseract, of op een vliegtuig, en gaf ons projecties van een tesseract, zoals hier. In 3-d, kunnen twee van de kubussen worden onvervormd; maar de andere zes worden vervormd. In het 2-d projecties uiteraard geen enkele kubussen wordt onvervormd. In "gevouwen tesseract 1," de ruitvorm van enkele van de vervormde kubussen kunnen gemakkelijk worden opgesteld. In "gevouwen tesseract 2," een kubus is kleiner dan de andere (vanuit het oogpunt van de afstand in de 4de dimensie), terwijl de blokken die hechten ze lijken op de vorm van piramides trucated nemen.

de famliar pentagram is, vreemd genoeg, een tweedimensionale (2-d) projectie van de Pentatope. Aangezien een Pentatope bevat vijf tetraeders, moet het mogelijk zijn om vijf verschillende tweedimensionale projecties van een Tetrahedron vinden in de projectie van de Pentatope. In de afbeelding rechts hiervan is te zien. Gemarkeerd in het rood zijn elk van de vijf tetraëders, met een onafhankelijke rode Tetrahedron ter vergelijking. Hoewel het lijkt alsof deze uitstekende brandstof voor fantasy en science-fiction verbindingen tussen hoger dimensionale werkelijkheid en occulte praktijken moeten zijn, heb ik niet gemerkt dat een dergelijk gebruik van het op die manier. Nog beter, als de rode lijnen worden genomen om de projectie van een plein met twee diagonalen, dan is de zwarte lijnen kan elk tekenen van de projectie van een piramide [noot].

Een model of projectie van een pentatope kan op een intuïtieve manier worden geconstrueerd naar analogie met de bouw van de tetraëder. Een tetraëder, beginnen we met een driehoek. Een driehoek heeft drie zijden. Aan elke kant hechten wij een andere driehoek. We kunnen dit allemaal doen op een vliegtuig. Gezien de derde dimensie, kunnen we vouw de buitenkant driehoekjes totdat ze elkaar ontmoetten. Ze ontmoeten elkaar op één vertex, dus dit maakt de solide. Geen extra cijfer wordt gegenereerd. De constructie kan terug op het oorspronkelijke vlak worden geprojecteerd in een oneindig aantal manieren, afhankelijk van de tetraëder wordt geroteerd in 3 dimensionale ruimte. In de uitsteeksels echter ten minste drie driehoeken, en wellicht alle vier zal worden vervormd in vorm en / of grootte.

Voor de pentatope, beginnen we met de tetraëder. Het heeft vier gezichten. Op elk vlak hechten we nog een tetraëder. Uitgaande van een vierde dimensie, kan de buitenkant tetraëders zijn "gedraaide" totdat ze elkaar. Zij zullen ontmoeten op een hoekpunt, het voltooien van de polytope. Nog een keer, geen extra vorm gegenereerd. Deze constructie kan terug in de driedimensionale ruimte worden geprojecteerd, waardoor we 3-d modellen van een pentatope, of, zoals hierboven afgebeeld, op een vlak, waardoor we projecties van de pentatope. In "gevouwen pentatope 2," vier vervormd tetraëders lijken het midden van de basis tetraëder bezetten.

n -Dimensional "platonisch" polytopes, n gt; 4

In tegenstelling tot de wedstrijd van kubus met tesseract en tetraëder met pentatope, is er geen 3-d analoge naar de 24-cel.

In alle dimensies groter dan vier, zijn er precies drie analoog, om de Platonische lichamen. Dit is, vreemd genoeg, precies de helft van de vormen vinden we in 4 dimensies.

Copyright (c) 1998, 2000, 2002, 2005, 2011, 2012, 2014, 2016 Kelley L. Ross, Ph.D. Alle rechten voorbehouden

Platonische en Archimedische veelvlakken, Opmerking;
The Lizard-Spock Expansion

Gewoonlijk (1) een schaar snijdt papier, papier (2) heeft betrekking op rock, en (3) rock breekt schaar. Met de toevoeging van de hagedis en (de heer) Spock (van Star Trek), (4) rock verplettert hagedis, (5) hagedis vergiftigt Spock, en (6) Spock breekt schaar. Maar we hebben nu het voorkomen van extra wedstrijden. Rock breekt nog een schaar, maar nu (7) scharen ook onthoofden hagedis, (8) Spock verdampt rock, (9) hagedis eet papier, en (10) papier weerlegt Spock. De drie acties van "steen Papier Schaar" uitbreiden naar tien acties met de toevoeging van twee nieuwe moves.

Men kan zich afvragen, "Waarom het systeem uitbreiden door twee in plaats van één?" Een reden zou de asymmetrie van het resultaat. Als we alleen "hagedis," die ons het vierkant diagram links geeft, zitten er twee van de items verslaan twee anderen, maar dat de andere twee verslaan één. Dit betekent dat in het spel zou een zeer slechte strategie ooit op papier of hagedis, die twee keer zo vaak als ze zelf ooit kan verslaan een andere zal worden verslagen te kiezen. Deze asymmetrie is onvermijdelijk gezien het feit dat elk hoekpunt van het plein is de kruising van drie lijnen. Dus elk hoekpunt moet ofwel verslaan twee of verslagen worden door twee. Het toevoegen van zowel hagedis en Spock betekent dat elk hoekpunt is de kruising van de vier lijnen, die gelijkmatig kan worden verdeeld. Kass en Bryla gewijd nadenken over de Lizard-Spock Expansion.

Het uitgangspunt op De oerknaltheorie was dat "steen Papier Schaar" niet bieden genoeg alternatieve keuzes, wat resulteert in te veel banden; maar, bij gebruik, de "Uitbreiding" resulteerde in iedereen altijd de keuze van Spock. Gezien de voorkeur van spelers voor Spock, voor het symbolische en persoonlijke redenen, zou de beste strategie om hagedis of papier kiezen, die beide een nederlaag Spock. Echter, omdat een andere speler met gelijkaardige inzicht zou kunnen kiezen hagedis of papier, hagedis is de beste keuze, omdat het zowel Spock en papier verslaat.

Nu krijgen we verder explansions van het spel, bijvoorbeeld met de toevoeging van de Zombie en de LHC (Large Hadron Collider dat wil zeggen – de deeltjesversneller van CERN in Zwitserland / Frankrijk). Dit zorgt voor drie overwinningen en drie nederlagen voor elk gebaar. The Zombie hand is een "limp-wristed gebaar, met alle vingers geopend," terwijl de LHC is een "vuist met de duim en de wijsvinger verlengd," zoals de handvorm voor een pistool, omdat de Collider maakt gebruik van een "particle gun" om deeltjes te injecteren in het apparaat. Een andere grote hoeveelheid regels moeten worden toegevoegd, die ik zal niet detail hier. Dit is intrigerend, maar alles begint te lijken te veel.

Bron: www.friesian.com

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *

17 + 11 =